隐藏在正方形中的数学和哲学

文 Ivy纯白色的画布上黑色直线纵横交错，规整的高饱和度三原色矩形零星散布在黑线交叉形成的空白中。想必大家对这些“格子图”一定不陌生，它们便是蒙德里安（Piet

文本常春藤

黑色的直线在纯白色的画布上纵横交错，规则的高饱和度原色矩形零星地散布在黑色线条交叉形成的空白处。这些“格子图”你一定很熟悉。它们是蒙德里安“新造型主义”风格时期最著名的作品。

红、蓝、黄组合，1937-42，蒙德里安，由MoMA 提供

你可能认为蒙德里安的整个艺术生涯都在画网格。事实上，情况并非如此。和毕加索等许多抽象画家一样，蒙德里安从小就受到艺术的熏陶，具有非常扎实的写实基本功。继最初的传统荷兰风景画之后，他的中早期作品先后受到印象派、象征主义、立体主义等影响，逐渐从古典现实主义转向现代抽象主义。最终，在各种因素的共同作用下，蒙德里安发展出了他最著名的新造型主义绘画风格，这就是“格子画”。

西番莲，1908年，蒙德里安，图片来自wiki

灰树，1911，蒙德里安，图片来自wiki

1914年因第一次世界大战爆发而滞留在荷兰后，蒙德里安有时间平静下来。他逐渐不再满足于立体主义的追求，开始思考物质世界的本质以及如何构成宇宙的和谐。在他眼中，立体主义未能达到抽象的极致，即纯粹的造型表达。蒙德里安的想法与他一生中非常重要的朋友、荷兰数学家和哲学家M.H.J. 的想法不谋而合。舍恩梅克斯。 1916年他们见面后，他们获得了更多的权威。以及成熟的共鸣、支持和启发。

桑梅克在1915 年和1916 年写了两篇文章：《新世界意象Het nieuwe wereldbeeld》（世界新形象）和《造型数学原理Beginselen der Beeldende Wiskunde》（塑性数学原理），其中他将宇宙创造的规律描述为数学秩序：“自然虽然它的变化可能是动态的、反复无常的，但从根本上来说，它总是以一种绝对有规律的方式运行，即形状的规律性。”他认为生命的本质是通过“塑造”和“数学”。以某种方式构建的这种形状并不保持表面上与材料的相似，而是符合自然现实的本质特征。

后来蒙德里安创造的“新塑性主义”一词也来源于“塑性数学”。他将“新造型主义”解释为一种手段：“通过这种手段，大自然的丰富性和多样性可以被压缩成有形的东西。”通过对某些关系的雕塑表达，艺术已经成为像数学一样准确地表达宇宙基本特征的直观手段。”

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在桑梅克的理论下，直线和矩形原理的独特优势得到了发挥。他在塑性数学的决定性段落之一中描述：直线运动是延续，而射线运动则上升和展开。线条从射线“接收”其本质，射线是被动的；射线“给出”了线的存在，该线是活动的。线本质上是水平的，射线本质上是垂直的；横与竖的特征不在于方向，而在于本质。那么长方形和十字形就是消除一切任性后从曲线中抽象出的横竖线组成的平衡关系中最稳定、最清晰的形象。

黄色、黑色、蓝色、红色和灰色的菱形构图，1921 年，蒙德里安，图片来自ARTIC

至于蒙德里安为何只使用水平线和垂直线作为他独特的抽象绘画语言，最好不要将它们理解为“直线”，而是将其理解为方向力或矢量：一种动态的结构因素，而不是稳定的结构因素。结构组件。

回想一下数学中坐标平面的使用，任何类型的规则线都可以用一个公式来表示，该公式描述沿由“x”（水平轴）和“y”（垂直轴）定义的规则网格的点移动：对角线呈四十五度角时，可表示为x=y，踢到场上的足球的抛物线可能为x=-8y+100。从这个角度来看，蒙德里安把他想要表达的一切都视为坐标平面上的点或线。经过进一步纯粹的简化后，它在数学上被表达为两个相互作用的力（水平力和垂直力）。力），只剩下x和y。

风格派元素在艺术中就像物理学中的基本构件一样：质子、中子和电子。使用一桶这些原子构建块，您可以制造宇宙中的任何东西，从氢（一个质子+ 一个电子）到氧（八个质子+ 八个电子+ 八个中子）到水（两个氢原子+ 一个氧原子），蛋白质、草履虫，甚至最终是人类。

苏内梅克提出的“可塑数学”，也可称为“实证神秘主义”，实际上是新柏拉图哲学思想体系（Neo-Platonic Philosophy），也被称为蒙德里新可塑理论的先驱。

除了我们从数学角度理解的蒙德里安画作中的直线之外，蒙德里安还从哲学意义上总结了一个方程：垂直=雄=空间=静=协调；水平=女性=时间=动态=旋律等等。他非常重视这些方程和这两个系列的概念形成了一系列“相对矛盾”。在此基础上，他还引申出可见的现实形象与抽象的本质结构实际上就是这样一对“相对矛盾”。

蒙德里安《红、蓝、黄的构图II》，1930年，蒙德里安，图片来自wiki

索恩梅克也将矛盾体系视为其学说中最重要的部分，其中他还制定了一系列严格平行的方程：空间=具体演化=垂直；时间=具体历史=水平。在这个辩证体系中，这些概念的存在是相对的而不是对立的。它们是同一现实的不同部分。它们只有同时存在并相互关联时才是真实的、有意义的。在Sunemaker眼中，塑造我们星球的两个基本的、完全对立的（概念或因素）是：地球绕太阳运行轨道的水平线，以及从太阳中心发出的垂直光线。

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Sunmaker的哲学体系不仅包括新造型主义的线性和空间原理，还包括关于色彩原理的某些观点。他认为只有三种主要原色存在并具有象征意义：黄色象征太阳的光芒四射的运动；蓝色象征着天空的无限延伸；红色是中性的搭配色，“黄蓝晨光的低语聊天”。

百老汇Boogie Woogie，1942-43，蒙德里安，图片来自MoMA

作为风格派的核心人物，蒙德里安在杂志上发表和传播了他的许多艺术思想，因此桑梅克的思想无疑刺激了风格派原则的形成。正如我们上面所介绍的，风格派仅使用直线、矩形、三原色和三种非颜色来构造简单但有序的作品。他们追求艺术的纯粹抽象和简单化，拒绝创造可见的、不断变化的自然现实。致力于探索人类共有的乌托邦精神和感知。对于风格派的这一艺术目标，蒙德里安更喜欢用“新造型主义”一词来表达。

与其他同时充满个性的艺术流派不同，“风格派”是“普世性”的。它不仅仅是蒙德里安的个人风格或特定地区或时期的风格。与其说“风格派”是一种绘画形式，不如说它是一套相对客观的使用规范和底层逻辑，可以广泛应用于绘画、雕塑、设计、建筑等多个领域。虽然它在艺术史上短暂存在，但却对整个世界产生了巨大而持久的影响。

红蓝椅子，1918-23，Gerrit.T.Rietveld，图片来自wiki

蒙德里安的画作不仅是现代抽象艺术最伟大的表现形式之一，而且还是一个有趣的数学难题的基础。

蒙德里安拼图是通过划分一个大小为n的网格得到的，数值就是分数，分数越小越好。

这样抽象表达的说法可能有点难以理解，但是通过具体的例子就很容易看出。例如，采用44 网格。一种可能的解决方案是将网格划分为34 和14 两个矩形，得分为8。还有另一种方法将网格划分为4 个矩形，这样可以将得分降低到4。

自从蒙德里安谜题被提出以来，数学家们一直在努力寻找一种通用的方法或算法，为无数可能的情况提供解决方案。尽管尚未实施，但在空间或包装分配和优化等领域，它将是一个非常强大的实用工具。

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